Question

（2003•黃岡）已知經過A、B、C三點的二次函數圖象如圖所示．
（1）求二次函數的解析式及拋物線頂點M的坐標；
（2）若點N為線段BM上的一點，過點N作x軸的垂線，垂足為點Q．當點N在線段BM上運動時（點N不與點B、點M重合），設NQ的長為t，四邊形NQAC的面積為s，求s與t之間的函數關系式及自變量t取值范圍；
（3）將△OAC補成矩形，使△OAC的兩個頂點成為矩形一邊的兩個頂點，第三個頂點落在矩形這一邊的對邊上，求出矩形未知頂點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據圖象可以知道A，B，C三點的坐標已知，根據待定系數法就可以求出函數的解析式．進而求出頂點M的坐標．
（2）根據待定系數法可以求出直線MB的解析式，設NQ的長為t，即N點的縱坐標是t，把x=t代入解析式就可以求出橫坐標，四邊形NQAC的面積s=S_△AOC+S_梯形OQNC，可以用t分別表示出△AOC和梯形OQNC的面積，因而就得到s與t之間的函數關系式．
（3）可以補成的矩形有兩種情況，即圖1，的情況，易得未知頂點坐標是點D（-1，2）；
以點A、點C為矩形的兩個頂點，第三個頂點時，落在矩形這一邊AC的對邊上，如下圖2，易證Rt△HOC∽Rt△COA，根據相似三角形的對應邊的比相等，就可以求出OH的長，根據直線平行的關系利用待定系數法就可以求出直線AF與直線AC的解析式，兩函數的交點，就是滿足條件的點．
解答：解：（1）設這個二次函數的解析式為
y=a（x+1）（x-2），（1分）
把點C（0，2）坐標代入其中，求得a=-1，
y=-（x+1）（x-2）=-x²+x+2=-（x-）²+
∴這個二次函數的解析式為：
y=-x²+x+2（3分）
頂點M的坐標為M（，）；（4分）
[也可設為一般式y=ax²+bx+c，把A、B、C三點坐標代入解出]

（2）設線段BM所在直線的解析式為：y=kx+b，（5分）
分別把B（2，0）、M（，）坐標代入其中，
解得k=-，b=3，
∴y=-x+3．
若N的坐標為（x，t），則得t=-x+3，
解得x=2-t，（6分）
由圖形可知：s=S_△AOC+S_梯形OQNC（7分）
=×1×2+（2+t）（2-t）
化簡整理得s=-t²+t+3，（8分）
其中0＜t＜；（9分）

（3）以點O、點A（或點O、點C）為矩形的兩個頂點，
第三個頂點落在矩形這一邊OA（或邊OC）的對邊上，
如下圖1，此時易得未知頂點坐標是點D（-1，2）；（10分）
以點A、點C為矩形的兩個頂點，第三個頂點（即點O）
落在矩形這一邊AC的對邊上，如下圖2，此時
未知頂點分別為點E、點F．（11分）
它們的坐標求解如下：
∵ACEF為矩形，
∴∠ACE為直角，延長CE交x軸于點H，
則易得Rt△HOC∽Rt△COA，
∴，求得OH=4，
∴點H的坐標H（4，0）．可求得線段CH所在直線的
解析式為：y=-x+2；（12分）
線段AC所在直線的
解析式為：y=2x+2，線段EF所在直線過原點且與
線段AC所在直線平行，從而可得線段EF所在直線的
解析式為：y=2x；（13分）
線段AF所在直線與直線CH平行，
設直線AF的解析式為：y=-x+m，
把A（-1，0）坐標代入，求得m=-，
∴直線AF為：y=-x-．
∵點E是直線CH與直線EF的交點；
點F是直線AF與直線EF的交點，
∴得下面兩個方程組：
和，
解得E（，），F（-，-）．（14分）
∴矩形的未知頂點為（-1，2）或（，）、（-，-）．

點評：本題主要考查了待定系數法求函數的解析式，以及直線平行時解析式之間的關系．