Question

已知O為直線AB上的一點，∠COE是直角，OF平分∠AOE．
（1）如圖1，若∠COF=34°，則∠BOE=

 

；若∠COF=n°，則∠BOE=

 

；∠BOE與∠COF的數量關系為

 

．
（2）當射線OE繞點O逆時針旋轉到如圖2的位置時，（1）中∠BOE與∠COF的數量關系是否仍然成立？如成立請寫出關系式；如不成立請說明理由．
（3）在圖3中，若∠COF=65°，在∠BOE的內部是否存在一條射線OD，使得2∠BOD與∠AOF的和等于∠BOE與∠BOD的差的一半？若存在，請求出∠BOD的度數；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）當∠COF=n°，根據弧余得到∠EOF=90°-n°，再由OF平分∠AOE，得到∠AOE=2∠EOF=180°-2n°，然后根據鄰補角的定義得到∠BOE=180°-（180°-2n°）=2n°，所以有∠BOE=2∠COF．并且當n=34°時，可求出對應的∠BOE；
（2）和（1）推論得方法一樣，可得到∠BOE=2∠COF．
（3）由前面的結論，當∠COF=65°，得到∠BOE=2×65°=130°，并且∠EOF=∠AOF=90°-65°=25°，再根據2∠BOD與∠AOF的和等于∠BOE與∠BOD的差的一半，可得到關于∠BOE的方程，解方程得到∠BOD=16°，因此在∠BOE的內部存在一條射線OD，滿足條件．

解答：解：（1）∵∠COE是直角，∠COF=34°，
∴∠EOF=90°-34°=56°，
由∵OF平分∠AOE．
∴∠AOE=2∠EOF=112°，
∴∠BOE=180°-112°=68°；
當∠COF=n°，
∴∠EOF=90°-n°，
∴∠AOE=2∠EOF=180°-2n°，
∴∠BOE=180°-（180°-2n°）=2n°，
所以有∠BOE=2∠COF．
故答案為：68°，2n°，∠BOE=2∠COF；

（2）∠BOE與∠COF的數量關系仍然成立．理由如下：
設∠COF=n°，如圖2，
∵∠COE是直角，
∴∠EOF=90°-n°，
又∵OF平分∠AOE．
∴∠AOE=2∠EOF=180°-2n°，
∴∠BOE=180°-（180°-2n°）=2n°，
即∠BOE=2∠COF；

（3）存在．理由如下：
如圖3，∵∠COF=65°，
∴∠BOE=2×65°=130°，
∠EOF=∠AOF=90°-65°=25°，
而2∠BOD與∠AOF的和等于∠BOE與∠BOD的差的一半，
∴2∠BOD+25°=

1

2

（130°-∠BOD），
∴∠BOD=16°．

點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后的兩個圖形全等，對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等；也考查了角平分線的定義以及互余互補的含義．