Question

已知關于x的方程x2-(k+1)x+

1

4

k2+1=0的兩根是一個矩形兩條鄰邊的長，那么當k=

2

時，矩形的對角線長為

5

．

Answer 1

分析：根據根與系數的關系得出AB+BC=k+1，AB•BC=

1

4

k²+1，由勾股定理得出AB²+BC²=5，得出方程（k+1）²-2（

1

4

k²+1）=5，求出方程的解即可．

解答：解：
根據根與系數的關系得：AB+BC=k+1，AB•BC=

1

4

k²+1，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
由勾股定理得：AB²+BC²=（

5

）²=5，
（AB+BC）²-2AB•BC=5，
（k+1）²-2（

1

4

k²+1）=5，
k=2，k=-6，
當k=2時，AB+BC=K+1=3，
當k=-6時，AB+BC=k+1=-5＜0，舍去，
故答案為：2．

點評：本題考查了矩形的性質，勾股定理，根與系數的關系的應用，關鍵是得出關于k的方程．