Question

已知：如圖，△ABC中，AC=BC，以BC為直徑的⊙O交AB于E點，直線EF⊥AC于F．求證：EF與⊙O相切．

Answer 1

【答案】分析：連接OE，CE，由BC為圓的直徑，根據直徑所對的圓周角為直角可得∠BEC為直角，利用垂直的定義可得CE垂直于AB，又AC=BC，根據三線合一得到E為AB的中點，又O為直徑BC的中點，可得OE為三角形ABC的中位線，根據三角形的中位線平行與第三邊可得OE與AC平行，同時由EF與AC垂直，得到∠AFE為直角，根據兩直線平行內錯角相等可得∠OEF為直角，可得EF為圓的切線，得證．
解答：證明：連接OE，CE，

∵BC為圓O的直徑，
∴∠BEC=90°，
∴CE⊥AB，又AC=BC，
∴E為AB的中點，又O為直徑BC的中點，
∴OE為△ABC的中位線，
∴OE∥AC，
∴∠AFE=∠OEF，
又EF⊥AC，∴∠AFE=90°，
∴∠OEF=90°，
則EF為圓O的切線．
點評：此題考查了切線的判定，涉及的知識有：等腰三角形的性質，圓周角定理，平行線的性質，以及切線的判定定理，切線的判定定理是經過直徑的外端點，且與直徑垂直的直線為圓的切線，熟練掌握此定理是證明的關鍵．