Question

【題目】如圖，已知直線y=﹣x和反比例函數 （k＞0），點A（m，n）（m＞0）在反比例函數 上．

（1）當m=n=2時，
①直接寫出k的值；
②將直線y=﹣x作怎樣的平移能使平移后的直線與反比例函數 只有一個交點．
（2）將直線y=﹣x繞著原點O旋轉，設旋轉后的直線與反比例函數 交于點B（a，b）（a＞0，b＞0）和點C．設直線AB，AC分別與x軸交于D，E兩點，試問： 與 的值存在怎樣的數量關系？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①當m=n=2時，A（2，2），

把點A（2，2）代入反比例函數 （k＞0）得：k=2×2=4；

②設平移后的直線解析式為y=﹣x+b1，

由 可得， ，

整理可得：x2﹣b1x+4=0，

當 ，即b1=±4時，方程x2﹣b1x+4=0有兩個相等的實數根，此時直線y=﹣x+b1與反比例函數只有一個交點，

∴只要將直線y=﹣x向上或向下平移4個單位長度，所得到的直線與反比例函數只有一個交點

（2）

解： ，理由如下：

分兩種情況討論：由反比例函數的對稱性可知，C（﹣a，﹣b）

①當點A在直線BC的上方時，如圖所示：

過A、B、C分別作y軸的垂線，垂足分別為F、G、H，

則OF=n，OG=OH=b，

∴FG=OF﹣OG=n﹣b，FH=OF+OH=n+b，

∵AF∥BG∥x軸，

∴ = = ，

∵AF∥x軸∥CH，

∴ = = ，

∴ + = + =2；

②當點A在直線BC的下方時，

同理可求： = ， = ，

∴ ﹣ = ﹣ =2；

綜上所述， ．

【解析】（1）①當m=n=2時，得出A（2，2），把點A（2，2）代入雙曲線 （k＞0）求出k的值即可；
②設平移后的直線解析式為y=﹣x+b1 ， 由直線和雙曲線解析式組成方程組，整理可得方程：x2﹣b1x+4=0，當判別式=0時，求出b1=±4即可；（2）分兩種情況討論：由雙曲線的對稱性可知，C（﹣a，﹣b），①當點A在直線BC的上方時，過A、B、C分別作y軸的垂線，垂足分別為F、G、H，則OF=n，OG=OH=b，得出FG=OF﹣OG=n﹣b，FH=OF+OH=n+b，由平行線得出比例式，即可得出結論；
②當點A在直線BC的下方時，同理可得出結論；即可得出結果．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解反比例函數的圖象的相關知識，掌握反比例函數的圖像屬于雙曲線．反比例函數的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．有兩條對稱軸：直線y=x和 y=-x．對稱中心是：原點．