Question

【題目】如圖，已知直線AB與x軸、y軸分別交于點A和點B，OA=4，且OA，OB長是關于x的方程x2﹣mx+12=0的兩實根，以OB為直徑的⊙M與AB交于C，連接CM，交x軸于點N，點D為OA的中點．

（1）求證：CD是⊙M的切線；
（2）求線段ON的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：OA、OB長是關于x的方程x2﹣mx+12=0的兩實根，OA=4，則OA×OB=12，

得OB=3，⊙M的半徑為1.5；

∵BM=CM=1.5，

∴∠OBA=∠BCM．

連結OC，OB是⊙M的直徑，則∠ACO=90°，D為OA的中點，

∴OD=AD=CD=2，

∴∠OAC=∠ACD，

又∵∠OAC+∠OBA=90°，

∴∠BCM+∠ACD=90°，

∴∠NCD=90°，

∴CD是⊙M的切線．

（2）

解：∵∠CND=∠CND，∠NOM=∠NCD=90°，

∴△NOM∽△NCD，

∴ = ，即 = ，

∴NO= ．

【解析】（1）先根據根與系數的關系求出OB的長，故可得出圓的半徑．連結OC，OB是⊙M的直徑，則∠ACO=90°，由D為OA的中點得出OD=AD=CD，故可得出∠OAC=∠ACD，再由∠OAC+∠OBA=90°得出∠BCM+∠ACD=90°，故∠NCD=90°，由此得出結論；（2）根據∠CND=∠CND，∠NOM=∠NCD=90°，得出△NOM∽△NCD，再由相似三角形的對應邊成比例即可得出結論．
【考點精析】關于本題考查的切線的性質定理，需要了解切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑才能得出正確答案．