Question

有一個二次函數的圖象，甲、乙、丙三位同學分別說出了它的特點：
甲：對稱軸是直線x=2；
乙：與x軸兩個交點的橫坐標都是整數；
丙：與y軸交點的縱坐標也是整數，且以這三個交點為頂點的三角形的面積為3．請你寫出滿足上述全部特點的一個二次函數解析式

 

．

Answer 1

分析：對稱軸是直線x=2，則一次項系數與二次項系數的比是-4；與x軸兩個交點的橫坐標都是整數，根據二次函數與一元二次方程的關系，可知二次函數值y=0時，所對應的一元二次方程有兩個整數解；三角形的面積=

1

2

×底×高．據此作答．

解答：解：對稱軸是直線x=2，則一次項系數與二次項系數的比是-4，
因而可設函數解析式是y=ax²-4ax+ac，
與y軸交點的縱坐標也是整數，因而ac是整數，
y=ax²-4ax+ac=a（x²-4x+c），與x軸兩個交點的橫坐標都是整數，
即方程x²-4x+c=0有兩個整數解，設是-1和+5，則c=-5，
則y=ax²-4ax+ac=a（x²-4x-5），
∵以這三個交點為頂點的三角形的面積為3，
∴a=±

1

5

．
則函數是：y=±

1

5

（x+1）（x-5）．（答案不唯一）．

點評：本題考查了二次函數解析式的求解方法，特別需要注意的是已知對稱軸就是已知二次項系數與一次項系數的關系，以及已知方程的解求方程的問題．