Question

有一個二次函數的圖象，三位同學分別說出了它的一些特征：甲：對稱軸是x=4；乙：與x軸兩個交點的橫坐標都是整數；丙：與y軸交點的縱坐標也是整數，且以這三個點為頂點的三角形面積為3．請寫出滿足上述全部特征的一個二次函數的解析式．

Answer 1

分析：根據題意畫出草圖，直接寫出圖象與x軸交點的橫坐標，根據以這三個點為頂點的三角形面積為3，求出與y軸交點縱坐標，當其值為正數時即可．

解答：解：如圖所示：令A點坐標為（3，0），
∵對稱軸是x=4，
∴B點坐標為（5，0）．
又∵△ABC的面積為3，
∴

1

2

×AB×OC=3，即

1

2

（5-3）OC=3，解得OC=3，
∴C點縱坐標為3，是整數，符合題意．
設二次函數解析式為y=a（x-3）（x-5），把C（0，3）代入解析式得，3=a（0-3）（0-5），
解得，a=

1

5

，
∴函數解析式為y=

1

5

（x-3）（x-5），即y=

1

5

x²-

8

5

x+3．
故答案為：y=

1

5

x²-

8

5

x+3或y=-

1

5

x²+

8

5

x-3或y=

1

7

x²-

8

7

x-3或y=-

1

7

x²+

8

7

x-3．

點評：此題考查了利用待定系數法求函數解析式．由于此題有一定的開放性，可根據面積求出不同的與x軸、y軸點的坐標，得到不同的解析式，故答案不唯一．