Question

如圖，若ABCD是一個(gè)長(zhǎng)方形，AB=2，AD=1，作點(diǎn)A關(guān)于對(duì)角線BD的對(duì)稱點(diǎn)P，則PC等于（　�。�

• A、

  3

  4

  5

• B、

  1

  2

  5

• C、

  2

  5

  5

• D、

  3

  5

  5

Answer 1

分析：連接PD、AC，先根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得出AD=DP=BC，再由全等三角形的判定定理得到Rt△DPE≌Rt△BCE，從而得到△APC是直角三角形，再利用勾股定理求解即可．

解答：解：連接PD、AC，
∵AB與BP關(guān)于BD對(duì)稱，
∴BD是AP的垂直平分線，
∴AD=DP=BC，
∴∠DPB=∠DCB=90°，
在△DPE與△BCE中，
DP=BC，∠DEP=∠BEC，∠DPE=∠DCB=90°，
∴Rt△DPE≌Rt△BCE，
∴PE=CE，DE=EB，
∴∠PCD=∠CDB，
∵∠AFD=∠PFC，∠CDB+∠AFD=90°，
∴∠AFD+∠PCD=90°，
∴∠APC=90°，
在Rt△ABD中，AB=2，AD=1，
∴BD=

AB2+AD2

=

22+12

=

5

，
∴AC=

5

，
∵BD是AP的垂直平分線，
∴AG=PG，
∵BD•AG=AD•AB，即

5

AG=2，AG=

2 5

5

，
∴AP=2AG=

4 5

5

，
在Rt△APC中，
PC=

AC2-AP2

=

( 5 )2-( 4 5 5 )2

=

3 5

5

．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是對(duì)稱的性質(zhì)及勾股定理，有一定的難度，能根據(jù)題意判斷出∠CPF是直角是解答此題的關(guān)鍵．