Question

在等邊△ABC中，點D為AC上一點，連接BD，直線l與線段BA、BD、BC分別相交于點E、P、F，且∠BPF=60°．
（1）如圖1，寫出圖中所有與△BDC相似的三角形，并選擇其中一對給予證明；
（2）若直線l向右平移，與線段BA、BD、BC或其延長線分別相交于E、P、F，請在圖2中畫出一個與圖1位置不盡相同的圖形（其它條件不變），此時，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請寫出來（不證明），若不成立，請說明理由；
（3）探究：如圖1，當BD滿足什么條件時（其它條件不變），△BPE的面積是△BPF的面積的2倍？請寫出探究結果，并說明理由．（說明：結論中不得含有未標識的字母）．

Answer 1

【答案】分析：（1）△EFB和△BDC相似：∠ABC=∠C=60°，∠BEP=∠DBC=60°-∠ABD；△BPF和△BDC相似：∠PBF=∠CBD，∠BPF=∠C=60°；由前面可知△BDC∽△BFP．
（2）結論均成立，證法同（1）．
（3）如果△BPE的面積是△BPF的面積的2倍，那么PE=2PF，根據（1）中得出的△BDC∽△BFP、△BDC∽△EFB，因此△BFP∽△EFB，那么EF：BF=BF：PF，BF²=EF•PF，BF=2PF，又有BE：BP=EF：BF，BF=PF，因此BF：PF==tan60°，而∠BPF=60°，所以∠BFP=90°，∠PBF=30°，因此∠EBP=30°，因此BD平分∠ABC．
解答：解：（1）△BDC∽△BFP、△BDC∽△EFB．
以△BDC∽△BFP以為例，證明如下：
∵∠C=∠BPF=60°，∠CBD=∠PBF，
∴△BDC∽△BFP．

（2）結論均成立，△BDC∽△BFP、△BDC∽△EFB．

（3）BD平分∠ABC時，△BPE的面積是△BPF的面積的2倍．
證明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBF=30°．
∵∠BPF=60°，
∴∠BFP=90°．
∴PF=PB．
又∵∠BEP=∠PBE=30°，
∴PE=PB．
∴PF=PE．
∴△BPE的面積是△BPF的面積的2倍．
點評：本題主要考查了等邊三角形的性質和相似三角形的判定等知識點，（3）中根據相似三角形得出相關線段的比例關系是解題的關鍵．