Question

如圖，在正方形ABCD中，點E是AB中點，點F是AD上一點，且DE=CF，ED、FC交于點G，連接BG，BH平分
∠GBC交FC于H，連接DH．
（1）若DE=10，求線段AB的長；
（2）求證：DE-HG=EG．

Answer 1

【答案】分析：（1）設AE=x，則AD=2x，在直角三角形AED中利用勾股定理即可求出x的值，進而求出AB的長；
（2）利用已知得出B、C、G、E四點共圓，得出BG=BC，進而得到BH是GC的中垂線，再利用△BHC≌△CGD，得出GH=DG即可證明DE-HG=EG．
解答：（1）解：設AE=x，則AD=2x，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，
∴x²+（2x）²=10²，
∴x=2，
∴AB=2AE=4；
（2）證明在正方形ABCD中，
易證RT△CDF≌RT△DAE，
∴∠DGE=∠DAE=90°，
∴∠EGC=∠EBC=90°，
∴∠EGC+∠EBC=180°，
∴B、C、G、E四點共圓，
∠AED=∠BCG，
連EC，
∴∠BGC=∠BEC，
因為BE=EA，BC=AD，
∴RT△BCE≌RT△ADE，
∴∠AED=∠BEC，
∴∠BGC=∠AED，
∴∠BGC=∠BCG，
∴BG=BC，
又因為BH平分∠GBC，
∴BG是GC的中垂線，
∴GH=HC，
∴GH=DG，
∴△DGH是等腰直角三角形，
即：DE-HG=EG．
點評：此題主要考查了全等三角形的判定與四點共圓的性質與判定，根據已知得出B、C、G、E四點共圓，以及BG是GC的中垂線是解題關鍵．