Question

6．已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于點A（2，0），B（6，0），與y軸交于點C（0，6），其對稱軸為直線L．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）設P為對稱軸上一動點，求△APC周長的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據待定系數法，可得函數解析式；
（2）根據線段垂直平分線上的點到線短兩端點的距離相等，可得PA=PB，根據兩點之間線段最短，可得CB最短，根據勾股定理，可得CA、CB的長，根據實數的加法，可得答案．

解答 解：（1）將A、B、C點的坐標代入函數解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+c=0}\\{36a+6b+c=0}\\{c=6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-4}\\{c=6}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-4x+6；
（2）如圖，
A、B關于對稱軸，得
PA=PB．
AC=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，BC=$\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
C_△PAC最小=CA+AP+PC=CA+（CP+PB）=2$\sqrt{10}$+6$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點，利用了線段垂直平分線的性質，利用線段的性質是解題關鍵．