Question

【題目】如圖，在正方形中，點是邊上的一個動點，連接．過點作一條射線與邊的延長線交于點，使得，其中是邊延長線上的點．連接．

（）求證： 是等腰直角三角形．

（）若，求的面積．

Answer 1

【答案】（）證明見解析．（）．

【解析】試題分析：（1）首先由∠QBE=∠PBC，∠QBE+∠QBC=90°易得△PAB與△QCB均為直角三角形，再證得△PAB≌△QCB，可得結論；

（2）由（1）可知QC=PA，設正方形的邊長AB=a，PA=x，利用方程思想和勾股定理，等量代換易得ax，可得結果．

試題解析：解：（1）∵∠QBE=∠PBC，∠QBE+∠QBC=90°，∴∠PBQ=∠PBC+∠QBC=90°，∵∠PBC+∠PBA=90°，∴∠PBA=∠QBC，在Rt△PAB和Rt△QCB中，∵∠A=∠QCB，AB=CB，∠PBA=∠QBC，∴△PAB≌△QCB（ASA），∴PB=QB，∴△PBQ是等腰直角三角形；

（2）設正方形的邊長AB=a，PA=x，∵△PAB≌△QCB，∴QC=PA=x，∴DQ=DC+QC=a+x，PD=AD﹣PA=a﹣x，在Rt△PAB中，PB2=PA2+AB2=x2+a2，∵PQ2=PB2+PD2+1，∴（a﹣x）2+（a+x）2=x2+a2+（a﹣x）2+1，解得：2ax=1，∴ax=，∵△PAB的面積S=PAPB=ax=×=．