Question

【題目】如圖①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，D為BC邊上一點（不與點B，C重合），將線段AD繞點A逆時針旋轉60°得到AE，連接EC，則：

（1）①∠ACE的度數是　 　； ②線段AC，CD，CE之間的數量關系是　 　．

（2）如圖②，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D為BC邊上一點（不與點B，C重合），將線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE，連接EC，請判斷線段AC，CD，CE之間的數量關系，并說明理由；

（3）如圖②，AC與DE交于點F，在（2）條件下，若AC＝8，求AF的最小值．

Answer 1

【答案】（1）60°，AC＝CE+CD；（2）＝CE+CD，見詳解；（3）4．

【解析】

（1）①先判斷出∠BAD＝∠CAE，即可判斷出△ABD≌△ACE，即可得出結論；

②由①得，△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，即可得出結論；

（2）先判斷出BC＝AC，再同（1）的方法判斷出△ABD≌△ACE，即可得出結論；

（3）先判斷出點A，D，C，E四點共圓，再由AF最小判斷出四邊形ADCE是矩形，即可得出結論．

解：（1）①∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝AC，∠B＝∠BAC＝60°，

由旋轉知，AD＝AE，∠DAE＝60°＝∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ACE＝∠B＝60°，

故答案為60°；

②由（1）知，△ABD≌△ACE，

∴BD＝CE，

∴BC＝BD+CD＝CE+CD，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AC＝BC，

∴AC＝CE+CD，

故答案為AC＝CE+CD；

（2）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴BC＝，

由旋轉知，AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD＝CE，

∴BC＝BD+CD＝CE+CD，

∴＝CE+CD；

（3）由（2）知，△ABD≌△ACE，

∴ACE＝∠ABD，

在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠ABD＝∠ACB＝45°，

∴∠ACE＝45°，

∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，

∵∠DAE＝90°，

∴∠BCE+∠DAE＝180°，

∴點A，D，C，E在以DE為直徑的圓上，

∵AC與DE交于點F，

∴AF是直徑DE上的一點到點A的距離，

即：當AF⊥DE時，AF最小，

∴∠CFD＝90°，

∴∠CDF＝90°﹣∠ACB＝45°，

∵∠ADE＝45°，

∴∠ADC＝90°，

∴四邊形ADCE是矩形，

∴AF最小＝AC＝4．