Question

已知點D為等腰△ABC的底邊BC的中點，P為AB線段內部的任意一點，設BP的垂直平分線與直線AD交于點E，PC與AD交于點F．求證：直線EP是△APF的外接圓的切線．

Answer 1

分析：首先根據題意畫出圖，利用垂直平分線的性質，不難證以E為圓心、EB為半徑作圓，則點P、C都在以E為圓心、EB為半徑的圓周上．運用直角三角形的兩直角邊所對的角互余、弦所對的圓周角是所對的圓心角的一半，可得∠PAE=90°-∠ABC=90°-

1

2

∠PEC．在等腰三角形EPC中，不難證明，∠EPC=90°-

1

2

∠PEC．再利用切線的判定定理，可得EP是△APF的外接圓的切線．

解答：證明：∵EG垂直平分BP，
∴EP=BE，
∵AD是等腰三角形ABC底邊上的高，
∴AD垂直平分BC，
∴BE=EC，
∴以E為圓心、EB為半徑作圓E，則點P、C都在該圓的圓周上，
∴在Rt△ABD中，∠PAE=∠BAE=90°-∠ABC=90°-

1

2

∠PEC=∠EPC，
∵在等腰三角形EPC中，∠EPC=90°-

1

2

∠PEC，
∴∠PAE=∠EPC，
∴EP是△APF的外接圓的切線．

點評：本題考查了三角形內切圓與內心、三角形外接圓與外心、切線的判定，解決本題的關鍵是靈活利用周邊的點與線段，構想內切圓與外接圓．