Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知點A坐標為（2，4），AB⊥x軸，垂足為點B，連接OA，拋物線y=x²從點O沿OA方向平移，與直線AB交于點P，拋物線的頂點M到A點時停止移動．
（1）求線段OA所在直線的函數解析式；
（2）設拋物線頂點M的橫坐標為m，
①用m的代數式表示點P的坐標；
②當m為何值時，線段PB最短；并求出此時拋物線的解析式．
（3）在②前提下，在直線AB上是否存在點N，使△PMN是等腰三角形？若存在，直接寫出滿足條件的N點坐標；
（4）探究：當線段PB最短時，在相應的拋物線上是否存在點Q（與P不重合），使△QMA的面積與△PMA的面積相等？若存在，直接寫出滿足條件的點Q的坐標．

Answer 1

分析：（1）由于直線OA是正比例函數，根據點A的坐標，即可確定該直線的解析式．
（2）①根據直線OA的解析式，可用m表示出點M的坐標，進而可表示出平移后的拋物線解析式，然后將x=2代入平移后的拋物線解析式中，即可得到點P的坐標；
②點P的縱坐標即可為線段PB的長，可利用配方法求得PB的最小值及對應的m的值，從而確定平移后的拋物線解析式．
（3）根據（2）②的結論，可求得點P、M的坐標，進而可得PM的長，若△PMN是等腰三角形，則有三種情況需要考慮：
①PM=PN，此時將P點坐標向上或向下平移PM個單位即可得到點N的坐標；
②PM=MN，此時點M的縱坐標為P、N縱坐標和的一半，由此可求得點N的坐標；
③PN=MN，此時N在線段PM的垂直平分線上，利用②得到的等腰三角形，可構建相似三角形求出點N的坐標．
（4）若△QMA的面積與△PMA的面積相等，則P、Q到直線OA的距離相等，此題分兩種情況討論：
①過P作平行于OA的直線，易求得此平行線的解析式，聯立拋物線的解析式即可求得點Q的坐標；
②在A點的上方截取AD=PA，同①過D作直線OA的平行線，先求出此平行線的解析式，然后聯立拋物線的解析式求得點Q的坐標．

解答：解：（1）設OA所在直線的函數解析式為y=kx，
∵A（2，4），
∴2k=4，
∴k=2，
∴OA所在直線的函數解析式為y=2x．

（2）①∵頂點M的橫坐標為m，且在線段OA上移動，
∴y=2m（0≤m≤2）
∴頂點M的坐標為（m，2m）
∴拋物線函數解析式為y=（x-m）²+2m
∴當x=2時，y=（2-m）²+2m=m²-2m+4（0≤m≤2）
∴點P的坐標是（2，m²-2m+4）．
②∵PB=m²-2m+4=（m-1）²+3，
又∵0≤m≤2，
∴當m=1時，PB最短．
此時拋物線的解析式為y=（x-1）²+2．

（3）由（2）②知：P（2，3），M（1，2）；
則PM=

2

；
①PM=PN=

2

，則N₁（2，3+

2

），N₂（2，3-

2

）；
②PM=MN，根據等腰三角形三線合一的性質知：N₃（2，1）；
③PN=PM，此時∠PMN₄=∠N₄PM=∠PM₃M，則：
△PMN₄∽△PN₃M，
得：PM²=PN₄•PN₃，
即：PN₄=PM²÷PN₃=1，
故N₄（2，2）；
綜上可知：符合要求的點N的坐標為：
N₁（2，3+

2

）；N₂（2，3-

2

）；N₃（2，1）；N₄（2，2）．

（4）當線段PB最短時，此時拋物線的解析式為y=（x-1）²+2，
①過P作直線L∥OA，設直線L：y=2x+h，
又P的橫坐標為2，把x=2代入拋物線解析式得：y=3，
則把P的坐標（2，3）代入得：4+h=3，解得：h=-1；
∴直線L：y=2x-1，聯立拋物線的解析式有：

y=2x-1 y=(x-1)2+2

，
解得

x=2 y=3

；
此時拋物線與直線L只有一個交點為P（2，3），故此種情況不成立；
②在點A的上方截取AD=AP，即D（2，5）；
過D作直線L′∥OA，設直線L′：y=2x+h′，
則有：4+h′=5，h′=1；
∴直線L′：y=2x+1，聯立拋物線的解析式有：

y=2x+1 y=(x-1)2+2

，
解得

x=2+ 2 y=5+2 2

，

x=2- 2 y=5-2 2

；
拋物線上存在點Q₁（2+

2

，5+2

2

），Q₂（2-

2

，5-2

2

），使△QMA與△PMA的面積相等．

點評：此題主要考查了二次函數圖象的平移、解析式的確定、函數圖象上點的坐標意義、等腰三角形的構成條件、三角形面積的計算方法等重要知識點，綜合性強，難度較大．