Question

如圖，OB是矩形OABC的對角線，拋物線y＝-x＋x＋6經過B、C兩點。
（1）求點B的坐標；
（2）D、E分別是OC、OB上的點，OD＝5，OE＝2EB，過D、E的直線交x軸于F，試說明OE⊥ DF；
（3）若點M是（2）中直線DE上的一個動點，在x軸上方的平面內是否存在另一個點N，使以O、D、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）設x＝0，則y＝6，則點C的坐標為（0，6），
又矩形OABC，則BC∥x軸，
∴拋物線y＝-x²＋x＋6過B、C兩點，
則B、C兩點關于拋物線的對稱軸x＝對稱，
∴B點坐標為（3，6）；
（2）如圖1，作EG⊥x軸于點G，則EG//BA，
∴△OEG∽△OBH，，
又∵OE＝2EB，          
∴，∴，∴OG＝2，EG＝4，
∴點E的坐標為（2，4），
又∵點D的坐標為(0，5)，
設直線DE的解析式為y＝kx+b，
則，
解得k＝-，b＝5。
∴直線DE的解析式為：y＝-x+5，
設y＝0，則x＝10，則OF＝10，GF＝OF-OG＝8，
∴，又∠OGE＝∠EGF＝90°，
∴△OGE∽△EGF，
∴∠EOG＝∠FEG，
∴∠FEO＝∠FEG＋∠OEG＝∠EOG＋∠OEG＝90°；
（3）答：存在。
①如圖1，當OD＝DM＝MN＝NO＝5時，四邊形ODMN為菱形。
作MP⊥y軸于點P，則MP//x軸，
∴△MPD∽△FOD，
∴，
又∵OF＝10，
在Rt△ODF中，FD＝＝＝，  
∴，
∴MP＝，PD＝，
∴點M的坐標為（-，5+），
∴點N的坐標為（-，）。

②如圖2，當OD＝DN＝NM＝MO＝5時，四邊形ODNM為菱形。
延長NM交x軸于點P，則 MP⊥x軸。
∵點M在直線y＝-x+5上，
∴設M點坐標為  (a，-a+5)，
在Rt△OPM中，OP²+PM²＝OM²，  
∴a²+(-a+5)²＝5²，解得a₁＝4，a₂＝0(舍去)，  
∴點M的坐標為(4，3)，∴點N的坐標為(4，8)。

③如圖3，當OM＝MD＝DN＝NO時，四邊形OMDN為菱形。
連接NM，交OD于點P，則NM與OD互相垂直平分，
∴y_M＝y_N＝OP＝，
∴-x_M+5＝，∴x_M＝5， ∴x_N＝-xM＝-5，
∴點N的坐標為(-5，)。
綜上所述，x軸上方的點N有三個，分別為N₁(-，)， N₂(4，8)，N₃(-5，)。