Question

如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O，∠CAB的平分線分別交BD、BC于E、F，作BH⊥AF于點H，分別交AC、CD于點G、P，連結GE、GF．

（1）求證：△OAE ≌△OBG；

（2）試問：四邊形BFGE是否為菱形?若是，請證明；若不是，請說明理由；

（3）試求：的值（結果保留根號）．

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）四邊形BFGE是菱形，理由見解析；（3）.

【解析】

試題分析：（1）通過全等三角形的判定定理ASA證得：△OAE≌△OBG.

（2）四邊形BFGE是菱形．欲證明四邊形BFGE是菱形，只需證得EG=EB=FB=FG，即四條邊都相等的四邊形是菱形.

（3）設OA=OB=OC=a，菱形GEBF的邊長為b．由該菱形的性質CG=GF=b，（也可由△OAE≌△OBG得OG=OE=a﹣b，OC﹣CG=a﹣b，得CG=b）；然后在Rt△GOE中，由勾股定理可得，通過相似三角形△CGP∽△AGB的對應邊成比例得到：；最后由（1）△OAE≌△OBG得到：AE=GB，故．

試題解析：【解析】
（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴OA=OB，∠AOE=∠BOG=90°.

∵BH⊥AF，∴∠AHG=90°.

∴∠GAH+∠AGH=90°=∠OBG+∠AGH. ∴∠GAH=∠OBG.∴△OAE≌△OBG（ASA）..

（2）四邊形BFGE是菱形，理由如下：

∵∠GAH=∠BAH,AH=AH, ∠AHG=∠AHB，∴△AHG≌△AHB（ASA）.∴GH=BH.

∴AF是線段BG的垂直平分線. ∴EG=EB，FG=FB.

∵∠BEF=∠BAE+∠ABE=，∠BFE=90°∠BAF=67.5°，

∴∠BEF=∠BFE. ∴EB=FB.

∴EG=EB=FB=FG. ∴四邊形BFGE是菱形.

（3）設OA=OB=OC=a，菱形GEBF的邊長為b，

∵四邊形BFGE是菱形， ∴GF∥OB. ∴∠CGF=∠COB=90°.

∴∠GFC=∠GCF=45°.∴CG=GF=b. ∴OG=OE=ab.

在Rt△GOE中，由勾股定理可得：，即.

∴AC=，AG=AC－CG=.

∵PC∥AB, ∴△CGP∽△AGB.∴.

由（1）△OAE≌△OBG得AE=GB，∴.

考點：1.正方形的性質；2.全等三角形的判定和性質；3. 菱形的判定和性質；4. 線段垂直平分線的性質；5.勾股定理；6.相似三角形的判定和性質.