Question

  如圖，在△OAB中，∠B=90°，∠BOA=30°，OA=4，將△OAB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至△OA′B′，C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4）．
（1）求A′點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求過C，A′，A三點(diǎn)的拋物線y=ax²+bx+c的解析式；
（3）在（2）中的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使以O(shè)，A，P為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）過點(diǎn)A'作A'D垂直于x軸，垂足為D，則四邊形OB'A'D為矩形．
在△A'DO中，
A'D=OA'sin∠A′OD=4×sin60°=2，
OD=A'B'=AB=2，
∴點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（2，2）．
（2）∵C（0，4）在拋物線上，
∴c=4，
∴y=ax²+bx+4．
∵A（4，0），A′（2，2）在拋物線y=ax²+bx+4上，
∴解之得：．
∴所求解析式為．
（3）①若以點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)，由于OC=OA=4，點(diǎn)C在拋物線上，則點(diǎn)C（0，4）為滿足條件的點(diǎn)．
②若以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則使△PAO為等腰直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)應(yīng)為（4，4）或（4，﹣4），經(jīng)計(jì)算知；此兩點(diǎn)不在拋物線上．
③若以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，則使△PAO為等腰直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)應(yīng)為（2，2）或（2，﹣2），經(jīng)計(jì)算知；此兩點(diǎn)也不在拋物線上．
綜上述在拋物線上只有一點(diǎn)P（0，4）使△OAP為等腰直角三角形．