Question

∠ACD為△ABC的一個外角，∠ABC、∠ACD的角平分線交于點P．
（1）若∠ABC=40°，∠ACD=110°，則∠P=

35°

；
（2）若∠ACD-∠ABC=64°，則∠P=

32°

；
（3）若∠A=76°，則∠P=

38°

；
（4）若∠P=46°，則∠A=

92°

；
（5）你能找出∠A與∠P之間的數量關系嗎？請寫出你找的數量關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據角平分線的定義求出∠PBC和∠PCD，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和列式計算即可得解；
（2）（3）（4）（5）根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和表示出∠ACD與∠PCD，再根據角平分線的定義整理即可得到∠A與∠P的關系，然后代入數據計算即可得解．

解答：解：（1）∵PB、PC分別是∠ABC、∠ACD的角平分線，
∴∠PBC=

1

2

∠ABC=20°，∠PCD=

1

2

∠ACD=55°，
又∵∠PCD=∠PBC+∠P，
∴55°=20°+∠P，
解得∠P=35°；

（2）由三角形的外角性質可得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠PCD=∠PBC+∠P，
∵PB、PC分別是∠ABC、∠ACD的角平分線，
∴∠PBC=

1

2

∠ABC，∠PCD=

1

2

∠ACD，
∴

1

2

（∠A+∠ABC）=

1

2

∠ABC+∠P，
整理得，∠P=

1

2

∠A，
在△ABC中，∠ACD-∠ABC=∠A=64°，
∴∠P=

1

2

×64°=32°；

（3）∠A=76°，則∠P=

1

2

×76°=38°；

（4）∠P=46°，則∠A=2∠P=2×46°=92°；
（5）∠P=

1

2

∠A．
理由如下：由三角形的外角性質可得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠PCD=∠PBC+∠P，
∵PB、PC分別是∠ABC、∠ACD的角平分線，
∴∠PBC=

1

2

∠ABC，∠PCD=

1

2

∠ACD，
∴

1

2

（∠A+∠ABC）=

1

2

∠ABC+∠P，
整理得，∠P=

1

2

∠A．
故答案為：（1）35°，（2）32°，（3）38°，（4）92°．

點評：本題考查了三角形的內角和定理與三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，熟練掌握性質與定理是解題的關鍵．