Question

如圖1，直線y=x與雙曲線y=（k＞0，x＞0）交于點P，PA⊥x軸于A，S_△PAO=．
（1）求k的值．
（2）如圖2，點E是y軸負半軸上一動點，點F是x軸正半軸上一動點，且PE⊥PF，求OF-OE的值．
（3）如圖3，將點A向右平移5個單位長度得點M，問：雙曲線y=（x＞0）上是否存在點Q，使S_△QPO=S_△MPO？若存在，求Q點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由點P為y=x與反比例函數y=的交點，設P（a，a）（a＞0），
可得出PA=OA=a，又S_△PAO=，
∴OA•PA=a²=，
解得：a=3或a=-3（舍去），
∴P（3，3），
將x=3，y=3代入反比例函數解析式得：3=，
則k=3×3=9；

（2）過P作PF⊥PE，交x軸于點F，過P作PB⊥y軸于點B，
∵∠ODE=∠PDF，∠EOD=∠EPF=90°，
∴∠BEP=∠AFP，
又BP=OA，PA=OA=3，
∴BP=AP，
在△BEP和△AFP中，
，
∴△BEP≌△AFP（AAS），
∴BE=AF，又OA=PA=OB=3，
則OF-OE=OA+AF-OE=OA+BE-OE=OA+BO+OE-OE=OA+OB=2OA=6；

（3）存在點Q，使S_△QPO=S_△MPO，理由為：
假如Q存在，在反比例函數圖象上找一點Q，連接OQ，PQ，過Q作QC⊥x軸于C點，
將A點沿x軸向右平移5個單位，得到M（8，0），連接PM，
∴OM=8，又PA=3，
∴S_△MPO=OM•PA=12，
又S_△QPO=S_△MPO，
∴S_△QPO=12，
設Q（m，）（m＞0），則有OC=m，QC=，
又PA=OA=3，故AC=m-3，
∴S_△QPO=S_△PAO+S_梯形APQC-S_△QCO=+（+3）（m-3）-=12，
整理得：（m-9）（m+1）=0，
解得：m=9或m=-1（舍去），
∴Q（9，1），
則存在點Q，使S_△QPO=S_△MPO，此時Q點的坐標為（9，1）．
分析：（1）由P為y=x與反比例函數的交點，得到P在y=x上，故設P（a，a），且a大于0，可得出AP=OA=a，由三角形AOP為直角三角形，且面積已知，利用三角形的面積公式列出關于a的方程，求出方程的解得到a的值，確定出P的坐標，將P的坐標代入反比例函數解析式中，即可求出k的值；
（2）根據題意過P作PF垂直于PE，交x軸于點F，過P作PB垂直于y軸于點B，先由一對對頂角相等及一對直角相等，利用三角形的內角和定理得出∠BEP=∠AFP，再由一對直角相等，以及BP=OA=AP，利用AAS可得出三角形BEP與三角形AFP全等，利用全等三角形的對應邊相等可得出BE=AF，由OF=OA+AF，將AF等量代換為BE，而BE=OB+OE，由OB=PA=OA=3，將OB換為OA，可得出OF-OE=2OA=6；
（3）存在點Q，使S_△QPO=S_△MPO，理由為：假如Q存在，在反比例函數圖象上找一點Q，連接OQ，PQ，過Q作QC⊥x軸于C點，由A的坐標及平移的規律找出M的坐標，在x軸上作出M點，連接PM，三角形POM以OM為底邊，AP為高，利用三角形的面積公式求出三角形POM的面積，可得出三角形QPO的面積，由Q在反比例函數圖象上，設出Q的坐標為Q（m，）（m＞0），可表示出QC與OC，而三角形QOP的面積=三角形AOP的面積+直角梯形APQC的面積-三角形OQC的面積，而三角形AOP的面積與三角形QOC的面積相等，故三角形QOP的面積=直角梯形APQC的面積，利用梯形的面積公式列出關于m的方程，求出方程的解得到m的值，即可確定出Q的坐標．
點評：此題屬于反比例函數綜合題，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質，待定系數法求函數解析式，反比例函數解析式中k的意義，坐標與圖形性質，利用了轉化及等量代換的思想，根據題意做出相應的圖形是本題的突破點．