Question

宜萬鐵路開通后，給恩施州帶來了很大方便．恩施某工廠擬用一節容積是90立方米、最大載重量為50噸的火車皮運輸購進的A、B兩種材料共50箱．已知A種材料一箱的體積是1.8立方米、重量是0.4噸；B種材料一箱的體積是1立方米、重量是1.2噸；不計箱子之間的空隙，設A種材料進了x箱．
（1）求廠家共有多少種進貨方案（不要求列舉方案）？
（2）若工廠用這兩種材料生產出來的產品的總利潤y（萬元）與x（箱）的函數關系大致如下表，請先根據下表畫出簡圖，猜想函數類型，求出函數解析式（求函數解析式不取近似值），確定采用哪種進貨方案能讓廠家獲得最大利潤，并求出最大利潤．

x	15	20	25	30	38	40	45	50
y	10	約27.58	40	約48.20	約49.10	約47.12	40	約26.99

Answer 1

【答案】分析：（1）設A種材料進了x箱，則B種材料進了50-x箱，此題中的等量關系有：①載重量為50箱；②容積為90立方米米，得到二元一次方程組；
（2）根據所給數據判斷該函數為二次函數，再將三點坐標代入其中即可求得二次函數的解析式，從而求得最大利潤．
解答：解：（1）設A種材料進了x箱，則B種材料進了50-x箱，
根據題意可知：
解得12.5≤x≤50
x取整數，故有38種進貨方案；

（2）由以上數據可知該函數為二次函數，
設二次函數的解析式為y=ax²+bx+c，
由圖象可知二次函數經過（15，10）（25，40）（45，40），
將三點坐標代入二次函數解析式可得a=-0.1，b=7，c=-72.5．
二次函數的解析式為y=-0.1x²+7x-72.5，
當x==35時，能讓廠家獲得最大利潤，
最大利潤為50萬元．
點評：本題考查的是二次函數在實際生活中的應用，解決問題的關鍵是讀懂題意，找到關鍵描述語，找到所求的量的等量關系．本題利用了總利潤=A單位利潤×A件數+B單位利潤×B件數，甲原料=A產品單位甲用量×A件數件數+B產品單位甲用量×B件數，關鍵是正確理解題意，然后根據二次函數的性質解決問題．