Question

【題目】如圖，為⊙的直徑，是⊙上的兩點，過作于點，過作于點，為上的任意一點，若，，，則的最小值是__________．

Answer 1

【答案】．

【解析】

先由MN=10求出⊙O的半徑，再連接OA、OB，由勾股定理得出OD、OC的長，作點B關于MN的對稱點B′，連接AB′，則AB′即為PA+PB的最小值，B′D=BD=3，過點B′作AC的垂線，交AC的延長線于點E，證出△AB′E是等腰直角三角形即可得出結果．

解：∵MN=10，
∴⊙O的半徑=5，
連接OA、OB，
在Rt△OBD中，OB=5，BD=3，
∴OD=，

同理，在Rt△AOC中，OA=5，AC=4，
∴OC=，

∴CD=4+3=7，
作點B關于MN的對稱點B′，連接AB′，
則AB′即為PA+PB的最小值，B′D=BD=3，
過點B′作AC的垂線，交AC的延長線于點E，如圖所示：
則四邊形CDB′E是矩形，
∴B′E=CD=7，CE=DB′=DB=3，
∵AE=AC+CE=4+3=7，B′E=CD=7，
∴△AB′E是等腰直角三角形，
∴AB′=AE=，

故答案為：.