Question

（2012•無錫）如圖，菱形ABCD的邊長為2cm，∠DAB=60°．點P從A點出發，以

3

cm/s的速度，沿AC向C作勻速運動；與此同時，點Q也從A點出發，以1cm/s的速度，沿射線AB作勻速運動．當P運動到C點時，P、Q都停止運動．設點P運動的時間為ts．
（1）當P異于A、C時，請說明PQ∥BC；
（2）以P為圓心、PQ長為半徑作圓，請問：在整個運動過程中，t為怎樣的值時，⊙P與邊BC分別有1個公共點和2個公共點？

Answer 1

分析：（1）連接BD交AC于O，構建直角三角形AOB．利用菱形的對角線互相垂直、對角線平分對角、鄰邊相等的性質推知△PAQ∽△CAB；然后根據“相似三角形的對應角相等”證得∠APQ=∠ACB；最后根據平行線的判定定理“同位角相等，兩直線平行”可以證得結論；
（2）如圖2，⊙P與BC切于點M，連接PM，構建Rt△CPM，在Rt△CPM利用特殊角的三角函數值求得PM=

1

2

PC=

3

-

3

2

t，然后根據PM=PQ=AQ=t列出關于t的方程，通過解方程即可求得t的值；
如圖3，⊙P過點B，此時PQ=PB，根據等邊三角形的判定可以推知△PQB為等邊三角形，然后由等邊三角形的性質以及（2）中求得t的值來確定此時t的取值范圍；
如圖4，⊙P過點C，此時PC=PQ，據此等量關系列出關于t的方程，通過解方程求得t的值．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，且菱形ABCD的邊長為2cm，
∴AB=BC=2，∠BAC=

1

2

∠DAB，
又∵∠DAB=60°（已知），
∴∠BAC=∠BCA=30°；
如圖1，連接BD交AC于O．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=

1

2

AC，
∴OB=

1

2

AB=1（30°角所對的直角邊是斜邊的一半），
∴OA=

3

（cm），AC=2OA=2

3

（cm），
運動ts后，AP=

3

t，AQ=t，
∴

AP

AQ

=

AC

AB

=

3

又∵∠PAQ=∠CAB，
∴△PAQ∽△CAB，
∴∠APQ=∠ACB（相似三角形的對應角相等），
∴PQ∥BC（同位角相等，兩直線平行）…5分

（2）如圖2，⊙P與BC切于點M，連接PM，則PM⊥BC．
在Rt△CPM中，∵∠PCM=30°，∴PM=

1

2

PC=

3

-

3

2

t
由PM=PQ=AQ=t，即

3

-

3

2

t=t
解得t=4

3

-6，此時⊙P與邊BC有一個公共點；

如圖3，⊙P過點B，此時PQ=PB，
∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°
∴△PQB為等邊三角形，∴QB=PQ=AQ=t，∴t=1
∴當4

3

-6＜t≤1時，⊙P與邊BC有2個公共點．

如圖4，⊙P過點C，此時PC=PQ，即2

3

-

3

t=t，∴t=3-

3

．
∴當1＜t≤3-

3

時，⊙P與邊BC有一個公共點，
當點P運動到點C，即t=2時，⊙P過點B，此時，⊙P與邊BC有一個公共點，
∴當t=4

3

-6或1＜t≤3-

3

或t=2時，⊙P與菱形ABCD的邊BC有1個公共點；
當4

3

-6＜t≤1時，⊙P與邊BC有2個公共點．

點評：本題綜合考查了菱形的性質、直線與圓的位置關系以及相似三角形的判定等性質．解答（2）題時，根據⊙P的運動過程來確定t的值，以防漏解．