Question

已知：如圖，以正方形ABCD的對角線為邊作菱形AEFC，B在FE的延長線上．
求證：AE、AF把∠BAC三等分．

Answer 1

證明：如圖，連接BD，交AC于點O，作EG⊥AC，垂足為G點，
∵四邊形AEFC為菱形，
∴EF∥AC．
∴GE=OB，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴OB⊥AC，
∴OB∥GE，
∵AE=AC，OB=BD=AC，
∴EG=AE，
∴∠EAG=30°．
∴∠BAE=15°．
在菱形AEFC中，AF平分∠EAC，
∴∠EAF=∠FAC=∠EAC=15°
∴∠EAB=∠FAE=∠FAC．
即AE、AF把∠BAC三等分．
分析：連接BD，交AC于點O，作EG⊥AC，垂足為G點，然后根據平行線間的距離相等可得GE=OB，再根據菱形的四條邊都相等可得AE=AC，正方形的對角線互相平分且相等求出OB=AC，然后求出EG=AE，再根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得∠EAG=30°，然后求出∠BAE=15°，再根據菱形的對角線平分一組對角即可得證．
點評：本題考查了正方形的對角線互相平分且相等，平分一組對角的性質，菱形的性質的四條邊都相等，菱形的對角線平分一組對角的性質，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，熟記各性質是解題的關鍵．