Question

【題目】觀察下面各式：

12+（1×2）2+22=（1×2+1）2

22+（2×2）2+32=（2×3+1）2

32+（3×4）2+42=（3×4+1）2

……

（1）寫出第2005個式子；

（2）寫出第n個式子，并說明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）20052+（2005×2006）2+20062=（2005×2006+1）2；（2）n2+[n（n+1）]2+（n+1）2=[n（n+1）+1]2；證明過程見解析

【解析】

試題分析：（1）根據已知的幾個式子得出各數之間的關系，從而得出第2005個式子；（2）根據給出的幾個式子得出一般性的規律，然后利用多項式的乘法計算法則分別求出等式左邊和右邊的值，從而得出規律的正確性．

試題解析：（1）當n=1時，12+（1×2）2+22=（1×2+1）2；

當n=2時，22+（2×3）2+32=（2×3+1）2；

當n=3時，32+（3×4）2+42=（3×4+1）2；

……

第2005個式子即當n=2005時，有20052+（2005×2006）2+20062=（2005×2006+1）2．

（2）第n個式子為n2+[n（n+1）]2+（n+1）2=[n（n+1）+1]2．證明如下：

∵n2+[n（n+1）]2+（n+1）2=n2+n2（n+1）2+（n2+2n+1）=n2+n2（n2+2n+1）+（n2+2n+1）=n2+n4+2n3+n2+n2+2n+1

=n4+2n3+3n2+2n+1，

且[n（n+1）+1]2=[n（n+1）2]+2[n（n+1）]·1+12=n2（n+1）2+2n（n+1）+1=n2（n2+2n+1）+2n2+2n+1

=n4+2n3+n2+2n2+2n+1=n4+2n3+3n2+2n+1，

∴n2+[n（n+1）]2+（n+1）2=[n（n+1）+1]2．