Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足為E．
（1）求證：∠CDB=∠A；
（2）若BD=5，AD=12，求CD的長．

Answer 1

分析：（1）先根據垂徑定理得出BC=BD，再根據圓周角定理即可得出∠A=∠CDB；
（2）先根據勾股定理求出AB的長，再由三角形的面積公式求出DE的長，根據CD=2DE即可得出結論．

解答：（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，AB⊥CD，
∴BC=BD，
∴∠A=∠CDB；

（2）解：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°．
∴AB=

AD2+BD2

=

122+52

=13．
∵

1

2

×AB×DE=

1

2

×AD×BD，即13×DE=12×5，解得DE=

60

13

，
∵AB為⊙O的直徑，AB⊥CD，
∴CD=2DE=2×

60

13

=

120

13

．

點評：本題考查的是垂徑定理，熟知勾股定理及圓周角定理是解答此題的關鍵．