Question

(1)已知方程x²＋px＋q＝0(p²－4q≥0)的兩根為x₁、x₂，求證：x₁＋x₂＝－p，x₁·x₂＝q．(2)已知拋物線y＝x²＋px＋q與x軸交于點A、B，且過點(―1，―1)，設線段AB的長為d，當p為何值時，d²取得最小值并求出該最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析(2) 當p=2時，d ²的最小值是4

【解析】（1）證明：∵a=1，b=p，c=q，p²﹣4q≥0，

∴。

（2）解：把（﹣1，﹣1）代入y=x²+px+q得p﹣q=2，即q=p﹣2。

          設拋物線y=x²+px+q與x軸交于A、B的坐標分別為（x₁，0）、（x₂，0）。

∵d=|x₁﹣x₂|，

∴d²=（x₁﹣x₂）²=（x₁+x₂）²﹣4 x₁•x₂=p²﹣4q=p²﹣4p+8=（p﹣2）²+4。

∴當p=2時，d ²的最小值是4。

（1）根據一元二次方程根與系數的關系可直接證得。

【教材中沒有元二次方程根與系數的關系可先根據求根公式得出x₁、x₂的值，再求出兩根的和與積即可】

（2）把點（﹣1，﹣1）代入拋物線的解析式，再由d=|x₁﹣x₂|可得d²關于p的函數關系式，應用二次函數的最值原理即可得出結論。