Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD（正方形四邊相等，四個角均為直角）中，AB＝8，P為線段BC上一點，連接AP，過點B作BQ⊥AP，交CD于點Q，將△BQC沿BQ所在的直線對折得到△BQC′，延長QC′交AD于點N．

（1）求證：BP＝CQ；

（2）若BP＝PC，求AN的長；

（3）如圖2，延長QN交BA的延長線于點M，若BP＝x（0＜x＜8），△BMC'的面積為S，求S與x之間的函數關系式．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）4.8；（3）

【解析】

（1）證明△ABP≌△BCQ即可得到結論；

（2）證明Rt△ABN≌△Rt△C'BN求出DQ，設AN＝NC'＝a，則DN＝8﹣a，利用勾股定理即可求出a；

（3）過Q點作QG⊥BM于G，設MQ＝BM＝y，則MG＝y﹣x，利用勾股定理求出MQ，再根據面積相減得到答案.

解：（1）證明：∵∠ABC＝90°

∴∠BAP+∠APB＝90°

∵BQ⊥AP

∴∠APB+∠QBC＝90°，

∴∠QBC＝∠BAP，

在△ABP于△BCQ中，

，

∴△ABP≌△BCQ（ASA），

∴BP＝CQ，

（2）由翻折可知，AB＝BC'，

連接BN，在Rt△ABN和Rt△C'BN中，AB＝BC'，BN＝BN，

∴Rt△ABN≌△Rt△C'BN（HL），

∴AN＝NC'，

∵BP＝PC，AB＝8，

∴BP＝2＝CQ，CP＝DQ＝6，

設AN＝NC'＝a，則DN＝8﹣a，

∴在Rt△NDQ中，（8﹣a）2+62＝（a+2）2

解得：a＝4．8，

即AN＝4．8．

（3）解：過Q點作QG⊥BM于G，由（1）知BP＝CQ＝BG＝x，BM＝MQ．

設MQ＝BM＝y，則MG＝y﹣x，

∴在Rt△MQG中，y2＝82+（y﹣x）2，

∴．

∴S△BMC′＝S△BMQ﹣S△BC'Q＝,

＝，

＝．