Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4cm，CD=10cm，∠C=60°．
（1）求AD的長；
（2）若動點P從點C出發沿CD方向向終點D運動，在P點運動的過程中，△ABP的面積改變了嗎？若改變，請說明理由；若沒有改變，請求出△ABP的面積．
（3）在（2）的條件下，過點B作BH⊥AP，垂足為H，若BH=3cm，求PA的長．

Answer 1

分析：（1）過點A作AE⊥CD于點E，由等腰三角形的性質可求出DE的長，再由銳角三角函數的定義求出AD的長即可；
（2）根據同底等高的三角形面積相等可直接得出結論；
（3）由S_△ABP=

1

2

AB•AE=

1

2

PA•BH即可求出PA的長．

解答：解：（1）過點A作AE⊥CD于點E，
∵梯形ABCD是等腰梯形，AB=4cm，CD=10cm，
∴DE=

CD-AB

2

=

10-4

2

=3cm，
在Rt△ADE中，
∵DE=3cm，∠C=60°，
∴AD=

DE

cos60°

=

3

1 2

=6cm；

（2）沒變．
∵點P無論運動到何點，△ABP都是以AB為底、以AE為高的三角形，
∴△ABP的面積沒改變；
∵AB=4cm，AE=DE•tan60°=3×

3

=3

3

，
∴S_△ABP=

1

2

AB•AE=

1

2

×4×3

3

=6

3

；

（3）∵在Rt△ADE中，DE=3cm，∠C=60°，
∴AE=DE•tan60°=3×

3

=3

3

，
∴S_△ABP=

1

2

AB•AE=

1

2

PA•BH，即4×3

3

=PA×3，解得PA=4

3

cm．

點評：本題考查的是等腰三角形的性質，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．