Question

在等腰△ABC，AB=AC，分別過點B、C作兩腰的平行線，經過點A的直線與兩平行線分別交于點D、E，連接DC，BE，DC與AB邊相交于點M，BE與AC邊相交于點N．
（1）如圖1，若DE∥CB，寫出圖中所有與AM相等的線段，并選取一條給出證明．
（2）如圖2，若DE與CB不平行，在（1）中與AM相等的線段中找出一條仍然與AM相等的線段，并給出證明．

Answer 1

分析：（1）由AD∥BC，BD∥AC，AE∥BC，AB∥BC，易得四邊形ACBD為平行四邊形與四邊形ABCE是平行四邊形，則可求得：AM=AN=BM=CN；
（2）首先延長DB、EC交于點P，由BD∥AC，AB∥EC，可得四邊形ABPC為平行四邊形，又由AB=AC，即可證得：?ABPC是菱形，可得AB=BP=PC=CA，又可證得：△EAC∽△EDP與△AMC∽△PCD，根據相似三角形的對應邊成比例，則可證得：CN=AM．

解答：解：（1）AM=AN=BM=CN；
證明：∵AD∥BC，BD∥AC，
∴四邊形ACBD為平行四邊形，
∴AM=BM．
（其它線段的證明：∵AE∥BC，AB∥BC，∴四邊形ABCE是平行四邊形，∴AN=CN=

1

2

AC，∵AB=AC，∴AN=CN=BM=AM）

（2）CN=AM．
證明：延長DB、EC交于點P，
∵BD∥AC，AB∥EC，
∴四邊形ABPC為平行四邊形，
∵AB=AC，
∴?ABPC是菱形，
∴AB=BP=PC=CA，
∵BD∥AC，
∴△EAC∽△EDP，
∴

AC

DP

=

EC

EP

，
同理：

NC

BP

=

EC

EP

，
∴

AC

DP

=

NC

BP

，
∵四邊形ABPC是平行四邊形，
∴∠BAC=∠P，
∵AC∥DP，
∴∠ACD=∠CDP，
∴△AMC∽△PCD，
∴

MA

CA

=

CP

DP

，
∴

MA

CA

=

NC

BP

，
∵AC=BP，
∴AM=CN．

點評：此題考查了平行四邊形，菱形的判定與性質，以及相似三角形的判定與性質．此題綜合性很強，注意數形結合思想的應用．