Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，過C點任作一直線PQ，過A作AM⊥PQ于M，過B作BN⊥PQ于N，
（1）如圖1，當直線MN在△ABC的外部時，求證：MN=AM+BN；
（2）如圖2，當直線MN在△ABC的內部時，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請指出MN與AM、BN之間的數量關系并說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據垂直的定義得到∠AMC=∠CNB=90°，則∠MAC+∠ACM=90°，又∠ACB=90°，則∠ACM+∠NCB=90°，于是根據等量代換得到∠MAC=∠NCB，根據“AAS”可證明△ACM≌△CBN，根據全等的性質得AM=CN，CM=BN，則MN=MC+CN=AM+BN；
（2）與（1）證明方法一樣可得到△ACM≌△CBN，根據全等的性質得AM=CN，CM=BN，而MN=CN-CM=AM-BN．

解答：（1）證明：∵AM⊥PQ于M，過B作BN⊥PQ于N，
∴∠AMC=∠CNB=90°，
∴∠MAC+∠ACM=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACM+∠NCB=90°，
∴∠MAC=∠NCB，
∵在△ACM和△CBN中

∠AMC=∠CNB ∠MAC=∠NCB AC=BC

，
∴△ACM≌△CBN（AAS），
∴AM=CN，CM=BN，
∴MN=MC+CN=AM+BN；

（2）（1）中的結論不成立，MN與AM、BN之間的數量關系為MN=AM-BN．理由如下：
∵AM⊥PQ于M，過B作BN⊥PQ于N，
∴∠AMC=∠CNB=90°，
∴∠MAC+∠ACM=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACM+∠NCB=90°，
∴∠MAC=∠NCB，
∵在△ACM和△CBN中

∠AMC=∠CNB ∠MAC=∠NCB AC=BC

，
∴△ACM≌△CBN（AAS），
∴AM=CN，CM=BN，
∴MN=CN-CM=AM-BN．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應邊相等．