Question

如圖，把正△ABC的外接圓對折，使點A落在弧BC的中點F上，若BC=5，則正△ABC的外接圓半徑為

5 3

3

，折痕在△ABC內的部分DE長為

10

3

．

Answer 1

分析：連接AF，由折疊可得AF為三角形ABC外接圓直徑，且O為圓心，由垂徑定理得AF垂直于BC，且G為BC的中點，由BC的長求出BG的長，O為三角形的外心，得到OA=OB，在直角三角形OBG中，利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半得出OG為OB的一半，即OG等于OA的一半，在直角三角形OBG中，利用勾股定理求出OG的長，確定出OB的長，即為三角形ABC外接圓的半徑，由AO：AG=2：3，而DE與AF垂直，BC與AF垂直，得到DE平行于BC，利用兩直線平行得到兩對同位角相等，得出三角形ADE與三角形ABC相似，由相似得比例，由BC的長，即可求出DE的長．

解答：解：連接AF，與DE交于點O，與BC交于點G，連接OB，
由折疊可知：AF為△ABC外接圓的直徑，O為圓心，
∵F為弧BC的中點，
∴AF⊥BC，G為BC的中點，即BG=

1

2

BC=2.5，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠OBC=30°，
∴在Rt△BOG中，BO=2OG，
∴AO=BO=2OG，
根據勾股定理得：BO²=BG²+OG²，即4OG²=6.25+OG²，
解得：OG=

5 3

6

，
則△ABC外接圓半徑AO=2OG=

5 3

3

，
由折疊可得：DE⊥AF，又BC⊥AF，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴

DE

BC

=

AO

AG

=

2

3

，
則DE=

2

3

×5=

10

3

．
故答案為：

5 3

3

；

10

3

點評：此題考查了垂徑定理，等邊三角形的性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，以及解直角三角形，熟練掌握定理及性質是解本題的關鍵．