Question

【題目】如圖，在ABCD中，E，F分別為邊AB，CD的中點，連接DE，BF，BD．

（1）求證：△ADE≌△CBF．
（2）若AD⊥BD，則四邊形BFDE是什么特殊四邊形？請證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵平行四邊形ABCD中
∴∠A=∠C，AD=BC，AB=DC

∵E、F分別為AB、CD的中點，
∴AE=AB，CF=DC

∴AE=CF．

在△ADE和△CBF中，

∴△ADE≌△CBF（SAS）

（2）解：若AD⊥BD，則四邊形BFDE是菱形．

證明：∵AD⊥BD，

∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°．

∵E是AB的中點，

∴DE= AB=BE．

∵在ABCD中，E，F分別為邊AB，CD的中點，

∴EB∥DF且EB=DF，

∴四邊形BFDE是平行四邊形．

∴四邊形BFDE是菱形．

【解析】（1）抓住題中關鍵的已知條件平行四邊形ABCD中，E，F分別為邊AB，CD的中點，根據平行四邊形的性質和線段中點的定義，易證AE=CF，∠A=∠C，AD=BC。可得到△ADE≌△CBF；（2）這是一道探究結論性的考題。先證明四邊形BFDE是平行四邊形，再證明一組鄰邊相等。而四邊形BFDE是平行四邊形易證，由AD⊥BD證得ABD是直角三角形，又有E是AB的中點，根據直角三角形的性質：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，易證到一組鄰邊相等，從而得出結論。
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直角三角形斜邊上的中線和平行四邊形的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分．