Question

（2013•嘉定區一模）如圖，弧EF所在的⊙O的半徑長為5，正三角形ABC的頂點A、B分別在半徑OE、OF上，點C在弧EF上，∠EOF=60°，如果AB⊥OF，那么這個正三角形的邊長為

5 21

7

．

Answer 1

分析：過C作CM⊥AB于M，連接OC，設正三角形ABC的邊長是x，則MB=

1

2

AB=

1

2

x，由勾股定理求出CM=

3

2

x，根據勾股定理求出OA²=25-x²，在Rt△ABO中，OA=

OB

sin∠AOB

=

2x

3

，得出方程25-x²=

4x2

3

，求出即可．

解答：解：
過C作CM⊥AB于M，連接OC，
設正三角形ABC的邊長是x，
則MB=

1

2

AB=

1

2

x，∠BAC=60°，
由勾股定理得：CM=

3

2

x，
∵∠EOF=∠CAB=60°，AB⊥OF，
∴∠OAB=30°，∠OBA=90°，
∴OA²=OC²-AC²=25-x²，
在Rt△ABO中，OA=

AB

sin∠AOB

=

2x

3

，
OA²=

4x2

3

，
25-x²=

4x2

3

，
x=

5 21

7

，
故答案為：

5 21

7

．

點評：本題考查了等邊三角形性質，勾股定理，解直角三角形等知識點的應用，解此題的關鍵是能得出關于x的方程．