Question

如圖：已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點P是BC的中點，兩邊PE、PF分別交AB、AC于E、F，給出一下五個結論：①PF=PE；②EF=AP；③2EP²=EF²；④∠AEP+∠AFP=180°；⑤S_{四邊形AEPF}=

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S_△ABC．當∠EPF在△ABC內繞頂點P旋轉時（點E不與A、B重合），上述結論中始終正確的有（　　）

A．2個

B．3個

C．4個

D．5個

Answer 1

分析：（1）通過證明△AEP≌△CFP就可以得出PE=PF，
（2）由條件知AP=

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BC，當EF是△ABC的中位線時才有EF=AP，其他情況EF≠AP．
（3）由∠EPA+∠FPA=90°，由勾股定理就可以得出結論；
（4）由△AEP≌△CFP就可以得出∠AEP=∠CFP，由鄰補角的性質就可得出結論；
（5）由S_{四邊形AEPF}=S_△APE+S_△APF．就可以得出S_{四邊形AEPF}=S_△CPF+S_△APF，就可以得出結論，

解答：解：∵∠EPA+∠FPA=∠EPF=90°，∠CPF+∠FPA=90°，
∴∠APE=∠CPF．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°．
∵P是BC的中點，
∴BP=CP=AP=

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BC．∠APC=90°，∠BAP=∠CAP=45°．
∴．∠BAP=∠C．
在△AEP和△CFP中

∠APE=∠CPF  AP=CP  ∠BAP=∠C

，
∴△AEP≌△CFP（ASA），
∴PE=PF，∠AEP=∠CFP．S_△AEP=S_△CFP．故①正確
∵∠CFP++∠AFP=180°，
∴∠AEP+∠AFP=180°．故④正確；
∵EPF=90°，在Rt△EPF中，由勾股定理，得
EF²=PE²+PF²，
∴2EP²=EF²．故③正確
∵S_{四邊形AEPF}=S_△APE+S_△APF．
∴S_{四邊形AEPF}=S_△CPF+S_△APF=S△FAE=

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S_△ABC．故⑤正確．
∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中點，
∴AP=

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BC，
∵EF不是△ABC的中位線，
∴EF≠AP，故②錯誤；
∴正確的共有4個．
故選C．

點評：本題考查了等腰直角三角形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，中位線的性質的運用，等腰直角三角形的判定定理的運用，三角形面積公式的運用，解答時靈活運用等腰直角三角形的性質求解是關鍵．