Question

設a、b是關于x的方程kx²+2（k-3）x+（k-3）=0的兩個不相等的實根（k是非負整數），一次函數y=（k-2）x+m與反比例函數y=

n

x

的圖象都經過點（a，b）．
（1）求k的值；
（2）求一次函數和反比例函數的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據△＞0求出k的取值范圍，再根據k是非負整數進而確定k的值．
（2）a、b是關于x的方程kx²+2（k-3）x+（k-3）=0的兩個不相等的實根，由韋達定理得出a+b及ab的值，再根據待定系數法求解．

解答：解：（1）∵方程kx²+2（k-3）x+（k-3）=0的兩個不相等的實根，
∴

△=4(k-3)2-4k(k-3)＞0 k≠0

，
解得：k＜3且k≠0，
又∵k為非負整數，
∴k=1，k=2，
又∵y=（k-2）x+m為一次函數，
∴k≠2，故k=1；

（2）當k=1時，方程kx²+2（k-3）x+（k-3）=0即為：x²-4x-2=0，
∵a，b是方程x²-4x-2=0的兩個不相等的根，
∴a+b=4，ab=-2．
∵一次函數y=（k-2）x+m與反比例函數y=

n

x

的圖象都經過點（a，b），
∴點（a，b）滿足函數解析式，∴

b=-a+m b= n a

，
解得

m=a+b n=ab

，
∴

m=4 n=-2

，
∴一次函數為：y=-x+4，反比例函數為y=-

2

x

．

點評：本題考查了反比例函數與一次函數的交點及根的判別式，難度較大，關鍵掌握用待定系數法求函數的解析式．