Question

如圖，Rt△ABC在平面直角坐標系中，BC在x軸上，B (－1，0)、A (0，2)，AC⊥AB．

（1）求線段OC的長；

（2）點P從B點出發以每秒4個單位的速度沿x軸正半軸運動，點Q從A點出發沿線段AC以每秒個單位的速度向點C運 動，當一點停止運動，另一點也隨之停止，設△CPQ的面 積為S，兩點同時運動，運動的時間為t秒，求S與t之間關系式，并寫出自變量取值范圍；

（3）Q點沿射線AC按原速度運動，⊙G過A、B、Q三點，是否有這樣的t值使點P在⊙G上、如果有求t值，如果沒有說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）4（2）S=2t²-t+5（0＜t＜），S=-2t²+t-5（＜t＜2），t=或t=2時C、P、Q都在同一直線上，S=0（3）當t=時，點P在圓G上

【解析】（1）∵AC⊥AB，

∴∠ABO+∠ACO=90°，

∵∠BAO+∠ABO=90°，

∴∠BAO=∠ACO∠ABO=∠COO，

∴△AOB∽△COA，

∴

∵B（-1，0）、A（0，2），

∴OA=2，OB=1，

∴，

∴OC=4；………………………………3分

（2）①當P在BC上，Q在線段AC上時，（0＜t＜）過點Q作QD⊥BC于D，

如圖所示，則CQ=2-t，CP=5-4t，

由△CQD∽△CAO可得QD=2-t，

所以S=CP•QD=（5-4t）（2-t），

即S=2t²-t+5（0＜t＜）；………………………………5分

②當P在BC延長線上，Q在線段AC上時（＜t＜2），過點Q作QD⊥BC于D，

如圖所示，則CQ=2-t，CP=4t-5，

由△CQD∽△CAO可得QD=2-t，

所以S=CP•QD=（4t-5）（2-t），

即S=-2t²+t-5（＜t＜2），………………………………7分

③當t=或t=2時C、P、Q都在同一直線上，S=0．………………………………8分

（3）若點P在圓G上，因為AC⊥AB，所以BQ是直徑，所以∠BPQ=Rt∠，即PQ⊥BC，

則BP²+PQ²=BQ²=BA²+AQ²，

得|4t|²+|2-t|²=()²+(t)²，

解得t₁=，t₂=-（不合題意，舍去）

所以當t=時，點P在圓G上．………………………………10分

（也可以在（2）的基礎上分類討論，利用相似求得）

（1）利用△AOB∽△COA即可求得OC=4．

（2）分當P在BC上，Q在線段AC上時、當P在BC延長線上，Q在線段AC上時、當C、P、Q都在同一直線上利用△CQD∽△CAO求得t值即可．

（3）若點P在圓G上，因為AC⊥AB，所以BQ是直徑，所以∠BPQ=Rt∠，即PQ⊥BC，則BP²+PQ²=BQ²=BA²+AQ²，得到有關t的式子求解即可．