Question

如圖，在等邊△ABC中，點D是BC邊的中點，以AD為邊作等邊△ADE．
（1）求∠CAE的度數；
（2）取AB邊的中點F，連接CF、CE，試證明四邊形AFCE是矩形．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據等邊三角形三線合一的特點，易求得∠DAC=30°，則∠CAE=∠DAE-∠DAC．
（2）先證明四邊形AECF是平行四邊形，然后根據∠CFA=∠FAE=90°，由矩形的定義判定四邊形AFCE是矩形．
解答：（1）解：∵△ABC是等邊三角形，且D是BC中點，
∴DA平分∠BAC，即∠DAB=∠DAC=30°；
∵△DAE是等邊三角形，
∴∠DAE=60°；
∴∠CAE=∠DAE-∠CAD=30°；

（2）證明：∵△BAC是等邊三角形，F是AB中點，
∴CF⊥AB；
∴∠BFC=90°
由（1）知：∠CAE=30°，∠BAC=60°；
∴∠FAE=90°；
∴AE∥CF；
∵△BAC是等邊三角形，且AD、CF分別是BC、AB邊的中線，
∴AD=CF；
又AD=AE，∴CF=AE；
∴四邊形AFCE是平行四邊形；
∵∠AFC=∠FAE=90°，
∴四邊形AFCE是矩形．
點評：本題主要考查了等邊三角形的性質以及矩形的判定方法．