Question

在平面直角坐標系xOy中，定義一種變換：使平面內的點P（x，y）對應的像為P′（ax+by，bx-ay），其中a、b為常數．己知點（2，1）經變換后的像為（1，-8）．
（1）求a，b的值；
（2）已知線段OP=2，求經變換后線段O′P′的長度（其中O′、P′分別是O、P經變換后的像，點O為坐標原點）．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據新定義運算列出關于a、b的方程組，通過解方程組來求得它們的值；
（2）根據勾股定理知OP²=x²+y²=4，由新定義變換得到O′、P′的坐標，然后由兩點間的距離公式即可求得O′P′的長度．
解答：解：（1）根據題意，得
，
解得，．
即a、b的值分別是2、-3．

（2）∵OP=2，點P的坐標是（x，y），
∴根據勾股定理知，x²+y²=4．
∵O′、P′分別是O、P經變換后的像，點O為坐標原點，
∴O′（0，0），P′（2x-3y，-3x-2y），
∴O′P′====2，即經變換后線段O′P′的長度是2．
點評：本題綜合考查了一元一次方程組的解法，兩點間的距離公式．解答該題的難點是弄清楚新定義運算的法則，列出關于a、b的二元一次方程組，通過解方程組求得它們的值，從而求得點P′的坐標．