Question

【題目】連接四邊形不相鄰兩個頂點的線段叫做四邊形的對角線，如圖1，四邊形ABCD中線段AC、線段BD就是四邊形ABCD 的對角線.把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．

（1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由．

（2）性質探究：試探索垂美四邊形ABCD兩組對邊AB，CD的平方和與BC，AD的平方和之間的數量關系．

猜想結論：（要求用文字語言敘述）______

寫出證明過程（先畫出圖形，寫出已知、求證）．

（3）問題解決：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE長．

Answer 1

【答案】垂美四邊形的兩組對邊的平方和相等

【解析】

（1）根據垂直平分線的判定定理證明即可；

（2）根據垂直的定義和勾股定理解答即可；

（3）先判斷出△GAB≌△CAE，得出∠ABG=∠AEC，進而根據垂美四邊形的性質、勾股定理、結合（2）的結論計算．

（1）四邊形ABCD是垂美四邊形.

理由：如圖，連接AC，BD，

∵AB=AD，

∴點A在線段BD的垂直平分線上,

∵CB=CD，

∴點C在線段BD的垂直平分線上，

∴直線AC是線段BD的垂直平分線，

∴AC⊥BD，即四邊形ABCD是垂美四邊形；

（2）猜想結論：垂美四邊形的兩組對邊的平方和相等，

如圖，

已知四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為E，

求證：AD2+BC2=AB2+CD2

證明：∵AC⊥BD,

∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90，

由勾股定理得,AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，

AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，

∴AD2+BC2=AB2+CD2；

（3）如圖，連接CG、BE，

∵∠CAG=∠BAE=90，

∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，

在△GAB和△CAE中，

AG=AC∠GAB=∠CAEAB=AE，

∴△GAB≌△CAE，

∴∠ABG=∠AEC,又∠AEC+∠AME=90，

∴∠ABG+∠AME=90，即CE⊥BG，

∴四邊形CGEB是垂美四邊形，

由(2)得,CG2+BE2=CB2+GE2，

∵AC=4，AB=5，

∴BC=3,CG=4,BE=5，

∴GE2=CG2+BE2 –CB2=73，

∴GE=.