Question

已知a，b為正整數，且滿足，則a+b=    ．

Answer 1

【答案】分析：首先根據關系式，故令設a+b=4k，a²+ab+b²=49k（k是正整數）．根據這兩式與一元二次方程根與系數的關系，可求得k的取值范圍．再就k的取值范圍討論a有意義得取值．進而求得a+b的值．
解答：解：，
設a+b=4k，a²+ab+b²=49k （k是正整數），
則b=4k-a，
那么：a²+ab+b²=a²+a（4k-a）+（4k-a）²=a²-4ka+16k²=49k，
即：a²-4ka+16k²-49k=0，
a是正整數，則方程有正整數解，
△=（4k）²-4（16k²-49k）=196k-48k²≥0，
4k（49-12k）≥0，
k≤，而k是正整數
∴1≤k≤4
又∵a=，且a為正整數
∴為整數
當k=1時，=；
當k=2時，=；
當k=3時，=2；
當k=4時，=4；
∴k=4，
此時a=，
即a=10 或 a=6，
若a=10，則b=4×4-10=6，
若a=6，則b=4×4-6=10，
∴a+b=16．
故答案為：16．
點評：本題考查一元二次方程根與系數的關系．解決本題的關鍵是設a+b=4k，a²+ab+b²=49k （k是正整數），轉化為一元二次方程根與系數的關系來解決．