Question

已知a，b為正整數，關于x的方程x²-2ax+b=0的兩個實數根為x₁，x₂，關于y的方程y²+2ay+b=0的兩個實數根為y₁，y₂，且滿足x₁y₁-x₂y₂=2008．求b的最小值．

Answer 1

分析：根據公式法首先表示出方程的根，再利用假設法分析得出注意a為正整數，得知t是有理數，從而t是整數．

解答：解：關于x的方程x²-2ax+b=0的根為a±

a2-b

，關于y的方程y²+2ay+b=0的根為-a±

a2-b

．
設

a2-b

=t，則
當x₁=a+t，x₂=a-t；y₁=-a+t，y₂=-a-t時，有x₁y₁-x₂y₂=0，不滿足條件；
當x₁=a-t，x₂=a+t；y₁=-a-t，y₂=-a+t時，有x₁y₁-x₂y₂=0，不滿足條件；
當x₁=a-t，x₂=a+t；y₁=-a+t，y₂=-a-t時，得x₁y₁-x₂y₂=4at；
當x₁=a+t，x₂=a-t；y₁=-a-t，y₂=-a+t時，得x₁y₁-x₂y₂=-4at．
由于t=

a2-b

＞0，于是有at=502．
（10分）
又由于a為正整數，得知t是有理數，從而t是整數．
由at=502，得a=251，t=2，即b取最小值為b=a²-t²=251²-2²=62997．
所以b的最小值為62997．
（15分）

點評：此題主要考查了公式法解一元二次方程，此題難度較大，求出根后，分別分析得出符合條件的b的值是解決問題的關鍵．