Question

如圖，直線y=-2x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點，將△OAB繞點O逆時針方向旋轉90°后得到△OCD．

（1）填空：點C的坐標是（    ,    ），點D的坐標是（   ,     ）；

（2）設直線CD與AB交于點M，求線段BM的長；

（3）在y軸上是否存在點P，使得△BMP是等腰三角形？若存在，請求出所有滿足條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）點C的坐標是(0，1)，點D的坐標是(－2，0)，（2）BM＝，（3）存在

解析:因為△OAB繞點O逆時針方向旋轉90°后得到△OCD，所以OB=OC=1，OA=OD=2所以點C的坐標是(0，1)，點D的坐標是(－2，0) ……………… 2分

（2）方法一：由（1）可知CD＝ ＝，BC＝1

又∠1＝∠5，∠4＝∠3

∴△BMC∽△DOC                                    ………………2分

∴＝  即＝

∴BM＝                                          ………………2分

方法二：設直線CD的解析式為y＝kx＋b

由（1）得

解得

∴直線CD的解析式為y＝ x＋1

又∠1＝∠5，∠BCM＝∠DCO

∴△BMC∽△DOC                                    ………………2分

∴＝  即＝

∴BM＝                                          ………………2分

方法三

∵  ∴  

∴M的坐標為(，)                                    ………………2分

過點M作ME⊥y軸于點E，則ME＝，BE＝

∴BM＝ ＝                             ………………2分

（3）存在                

分兩種情況討論：

① 以BM為腰時

∵BM＝，又點P在y軸上，且BP＝BM

時滿足條件的點P有兩個，它們是P₁ (0，2＋)、P₂ (0，2－)…………2分

過點M作ME⊥y軸于點E，∵∠BMC＝90°，

則△BME∽△BCM

∴＝

∴BE＝＝

又∵BM＝BP

∴PE＝BE＝

∴BP＝

∴OP＝2－＝

此時滿足條件的點P有一個，它是P₃ (0，)          ……………1分

② 以BM為底時，作BM的垂直平分線，分別交y軸、BM于點P、F，

由（2）得∠BMC＝90°，

∴PF∥CM

∵F是BM的中點，

∴BP＝BC＝

∴OP＝

此時滿足條件的點P有一個，它是P₄ (0，)  ……………… 1分

綜上所述點P有四個：P₁ (0，2＋)、P₂ (0，2－)、P₃ (0，) P₄ (0，)