Question

27、（1）如圖1，在正方形ABCD中，點E，F分別在邊BC、CD上，AE，BF交于點O，∠AOF=90°．求證：AE=BF．
（2）如圖2，在正方形ABCD中，點E、H、F、G分別在邊AB、BC、CD、DA上，EF、GH交于點O，∠FOH=90°，EF=4．求GH的長．
（3）如圖3，在矩形ABCD中，AB=3AD，點E、H、F、G分別在矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上，EF、GH交于點O，∠FOH=90°，EF=4，求GH的長．

Answer 1

分析：（1）根據∠AOF=90°，利用同角的余角相等得出∠EAB=∠FBC，再根據ASA即可證出△FBC≌△EAB．
（2）可以認為圖2中的線段GH、FE是由圖1中的線段AE、BF平移得到，故GH=FE=4．
（3）由于AB=3AD，可見圖3是由三個圖2的基本型轉化而來，據此即可解答．

解答：解：（1）∵∠AOF=90°，
∴∠OAB+∠FBA=90°，
又∵∠FBC+∠FBA=90°，
∴∠OAB=∠FBC．
又∵AB=BC，
∠ABE=∠BCF，
∴△ABE≌△BCF．
故AE=BF．
（2）∵圖2中的線段GH、FE是由圖1中的線段AE、BF平移得到，
即△ABE平移后得到△GKH，
△FBC平移后得到△FEL，
∴△GKH≌△FEL，
故GH=FE=4．
（3）把AB三等分，得到三個矩形，
將（2）過程重復，即得到GI=IJ=JH，
得GH=12．

點評：此題不僅考查了正方形的性質，還考查了平移的性質，將（2）（3）轉化為（1）是解題的關鍵．此題體現了轉化思想的重要作用．