Question

設二次函數y=mx²-（2m-1）x+m-2（m＞0）
（1）求證：它的圖象與x軸必有兩個交點．
（2）設圖象與x軸的兩個交點為A（x₁，0），B（x₂，0），且（x₁-3）（x₂-3）=5m，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明拋物線的圖象與x軸有兩個交點，即證明△＞0；
（2）根據根與系數的關系，得x₁+x₂=，x₁x₂=，結合（x₁-3）（x₂-3）=5m整體代入求解．
解答：證明：（1）∵△=（2m-1）²-4m（m-2）=4m+1
∵m＞0，∴4m+1＞0
即二次函數的圖象與x軸必有兩個交點．

解：（2）令y=0，得mx²-（2m-1）x+m-2=0，
由題意得x₁+x₂=，x₁x₂=，
又（x₁-3）（x₂-3）=5m，
∴x₁x₂-3（x₁+x₂）+9=5m，
∴+9=5m，
整理得5m²-4m-1=0，
解之得m₁=1，m₂=-．
∵m＞0，
∴m=-不合題意，舍去．
即所求m的值為m=1．
點評：此題考查了二次函數與一元二次方程之間的聯系，即拋物線與x軸的交點，即對應的一元二次方程的兩個實數根．