Question

設二次函數(shù)y=mx²-（2m-1）x+m-2（m＞0）
（1）求證：它的圖象與x軸必有兩個交點．
（2）設圖象與x軸的兩個交點為A（x₁，0），B（x₂，0），且（x₁-3）（x₂-3）=5m，求m的值．

Answer 1

分析：（1）要證明拋物線的圖象與x軸有兩個交點，即證明△＞0；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關系，得x₁+x₂=

2m-1

m

，x₁x₂=

m-2

m

，結合（x₁-3）（x₂-3）=5m整體代入求解．

解答：證明：（1）∵△=（2m-1）²-4m（m-2）=4m+1
∵m＞0，∴4m+1＞0
即二次函數(shù)的圖象與x軸必有兩個交點．

解：（2）令y=0，得mx²-（2m-1）x+m-2=0，
由題意得x₁+x₂=

2m-1

m

，x₁x₂=

m-2

m

，
又（x₁-3）（x₂-3）=5m，
∴x₁x₂-3（x₁+x₂）+9=5m，
∴

m-2

m

-3

2m-1

m

+9=5m，
整理得5m²-4m-1=0，
解之得m₁=1，m₂=-

1

5

．
∵m＞0，
∴m=-

1

5

不合題意，舍去．
即所求m的值為m=1．

點評：此題考查了二次函數(shù)與一元二次方程之間的聯(lián)系，即拋物線與x軸的交點，即對應的一元二次方程的兩個實數(shù)根．