Question

如圖，在直角坐標系中，O為原點．反比例函數的圖象經過第一象限的點A，點A的縱坐標是橫坐標的倍．
（1）求點A的坐標；
（2）如果經過點A的一次函數圖象與x軸的負半軸交于點B，AC⊥x軸于點C，若△ABC的面積為9，求這個一次函數的解析式．
（3）點D在反比例函數的圖象上，且點D在直線AC的右側，作DE⊥x軸于點E，當△ABC與△CDE相似時，求點D的坐標．

Answer 1

解：（1）∵反比例函數的圖象經過第一象限的點A，點A的縱坐標是橫坐標的倍，
∴設A點坐標為：（x，x），
∴x•x=6，
解得：x=2或x=-2（不合題意舍去），
∴點A的坐標為：（2，3）；

（2）∵點A的坐標為：（2，3），AC⊥x軸于點C，
∴AC=3，CO=2，
∵△ABC的面積為9，
∴×AC×BC=（BO+2）×3=9，
解得：BO=4，
故B點坐標為：（-4.0），
將A，B兩點代入y=kx+b得：
，
解得：，
故這個一次函數的解析式為：y=x+2；

（3）設D點的坐標為（x，y）
∵反比例函數解析式為y=，
∴DE=y=，EC=x-2，
當△ABC∽△DCE時，
則=，
即=，
解得：x₁=1+，x₂=1-（不合題意舍去），
故y==，
則D點坐標為：（1+，），
當△ABC∽△CDE時，
則=，
即=，
解得：x₁=3，x₂=-1（不合題意舍去），
故y==2，
則D點坐標為：（3，2），
綜上所述：D點坐標為：（1+，），（3，2）．
分析：（1）根據點A的縱坐標是橫坐標的倍，假設出A點坐標，進而將A點代入反比例函數解析式即可求出；
（2）根據A點坐標以及△ABC的面積為9，利用直角三角形面積求法得出B點坐標，再利用待定系數法求出一次函數解析式即可；
（3）利用當△ABC∽△DCE時以及當△ABC∽△CDE時分別利用相似三角形的性質得出比例式求出即可．
點評：此題主要考查了待定系數法求一次函數解析式以及相似三角形的性質和反比例函數的綜合應用，根據已知表示出D點坐標是解題關鍵．