Question

如圖，⊙O的圓心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分線上運動，且⊙O與∠α的兩邊相切，圖中陰影部分的面積S關于⊙O的半徑r（r＞0）變化的函數圖象大致是（　　）

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

分析：連接OB、OC、OA，求出∠BOC的度數，求出AB、AC的長，求出四邊形OBAC和扇形OBC的面積，即可求出答案．

解答：解：連接OB、OC、OA，
∵圓O切AM于B，切AN于C，
∴∠OBA=∠OCA=90°，OB=OC=r，AB=AC
∴∠BOC=360°-90°-90°-α=（180-α）°，
∵AO平分∠MAN，
∴∠BAO=∠CAO=

1

2

α，
AB=AC=

r

tan 1 2 α

，
∴陰影部分的面積是：S_{四邊形BACO}-S_扇形OBC=2×

1

2

×

r

tan 1 2 α

×r-

(180-α)πr2

360

=（

1

tan 1 2 α

-

180π-απ

360

）r²，
∵r＞0，
∴S與r之間是二次函數關系．
故選C．

點評：本題主要考查對切線的性質，切線長定理，三角形和扇形的面積，銳角三角函數的定義，四邊形的內角和定理等知識點的理解和掌握，能綜合運用性質進行計算是解此題的關鍵．