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【題目】如圖,△ABC內接于⊙O,且AB=AC.延長BC到點D,使CD=CA,連接AD交⊙O于點E.

(1)求證:△ABE≌△CDE;

(2)填空:

①當∠ABC的度數為 時,四邊形AOCE是菱形;

②若AE=6,BE=8,則EF的長為 .

【答案】(1)證明見解析(2)①60②

【解析】分析:1)根據AAS證明兩三角形全等

2①先證明∠AOC=AEC=120°,OAE=OCE=60°,可得AOCEOA=OC可得結論

②根據(1)中的全等得BE=DE=8AE=CE=6證明△ECD∽△CFB列式可得=證明△AEF∽△BCF則可得EF的長.

詳解:(1)證明AB=ACCD=CA∴∠ABC=ACBAB=CD

∵四邊形ABCE是圓內接四邊形∴∠ECD=BAECED=ABC

∵∠ABC=ACB=AEB∴∠CED=AEB∴△ABE≌△CDEAAS);

2①當∠ABC的度數為60°四邊形AOCE是菱形

理由是連接AOOC

∵四邊形ABCE是圓內接四邊形∴∠ABC+∠AEC=180°.

∵∠ABC=60∴∠AEC=120°=AOC

OA=OC∴∠OAC=OCA=30°.

AB=AC∴△ABC是等邊三角形∴∠ACB=60°.

∵∠ACB=CAD+∠D

AC=CD∴∠CAD=D=30°,∴∠ACE=180°﹣120°﹣30°=30°,∴∠OAE=OCE=60°,∴四邊形AOCE是平行四邊形.

OA=OCAOCE是菱形

②由(1)得ABE≌△CDEBE=DE=8AE=CE=6∴∠D=EBC

∵∠CED=ABC=ACB∴△ECD∽△CFB=

∵∠AFE=BFCAEB=FCB∴△AEF∽△BCF=EF==

故答案為:①60°;

練習冊系列答案
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